RELATIONS PARAMETRES ORBITAUX & EPHEMERIDES
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CONTENU : Rédigé
juin 2013 Cours de mathématiques appliquées II Exploitation de séquences identiques
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Voir le cours séquences de rotation et quaternions
Rappelons les figures du cours ( vous retrouvez le cours par un clic sur la figure ) qui éclaireront les explications :
Au risque de me répéter, je rappelle les différents référentiels qui sont utilisés, bien évidemment tous les vecteurs sont unitaires et l'ordre alphabétique correspond à un ordre direct.:
- Les fixes ou galiléens ( en oubliant les perturbations ou la précession des équinoxes, seront en rouge
- Les repères associés au mouvement en bleu
| N° | REFERENTIELS |
NATURE |
DEFINITION DES AXES |
| 0 | XE YE ZE | Héliocentrique écliptique | XE = ligne vernale, ZE = Nord écliptique |
| 1 | I J K | Géocentrique équatorial | I = XE = Ligne vernale; K = Axe de rotation terrestre |
| 2 | XN YN ZN | Associé à la ligne des nœuds de l'orbite | XN = Ligne des nœuds de l'orbite, ZN = K = Axe terrestre |
| 6 | XG YG ZG | Associé à Greenwich, équatorial | XG = Trace équatoriale de Greenwich, ZG = ZN = K = Axe terrestre |
| 3 | XN Y*N W | Intermédiaire, fixe, lié à l'orbite | XN = Ligne des noeuds, W = Normal à l'orbite, porte le moment cinétique orbital |
| 4 | P Q W | Repère périfocal, lié à l'orbite | P pointe le périgée, W porte le moment orbital |
| 5 | R T W - R U W - Z U W | Repère orbital tournant | R = Z = unitaire rayon vecteur, W porte le moment orbital, T = U |
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7 |
E N Z |
Repère géographique local |
E direction Est local tangent au parallèle, N direction Nord local, tangent au méridien, Z zénith |
Bien évidemment, le lecteur se convaincra que le passage d'un repère au suivant est une rotation autour de l'un des axes du premier repère, ce qui permet des calculs aisés.
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REPERE GEOCENTRIQUE ( I J K ) ET REPERE LOCAL ( E N Z )
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Ra = IJK: Repère géocentrique galiléen, avec I ligne vernale et K axe de rotation de la Terre Rn = ENZ: Repère géographique local, E vers l'Est, Z la verticale et N le Nord local Une séquence de rotation permet de passer de l'un à l'autre, avec a = lg(t)+ L et l. L est la longitude Greenwich et la l latitude, quant à lg(t) c'est l'heure sidérale de Greenwich. Avec nos conventions d'écriture où les axes sont toujours x y z ou 1 2 3 Ra ---(a / z ) ----( -l / y ) --- Rn Rappel de la matrice de passage
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REPERE LOCAL ( E N Z ) & PARAMETRES LOCAUX ( Pente g et azimut b )
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On notera que : w désigne l'argument nodal du périgée q l'angle polaire ou anomalie vraie de la position V le vecteur vitesse orbitale absolue U la vitesse horizontale donc appartenant au plan ( E- N ) R unitaire du rayon vecteur et Z zénith local sont identiques b est l'azimut absolu, visible figure de gauche, je rappelle que dans mon cours il est mesuré positivement du Nord vers L'Est ( c'est le cas à gauche ) |
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| Ra --> Rn | REFERENTIELS |
Paramètres concernés |
Séquences |
| 0 -> 1 | XE YE ZE --> IJK | - e = - 23° 27' ( inclinaison axe terrestre /écliptique ) |
0 --- ( - e / x )-->1 |
| 0 ou 1 --> 2 | XE YE ZE ou I J K --> XN YN ZN | W | 0 ou 1 -- ( W/ z ) -- 2 |
| 1 -> 6 | I J K -->XG YG ZG | lg(t) ( Heure sidérale de Greenwich ) | 1 -- ( lg(t)/ z ) -- 6 |
| 1 -> 3 | I J K -->XN Y*N W | W , i | 1 -- ( W/ z )( i / x ) -- 3 |
| 6 -> 3 | XG YG ZG -->XN Y*N W | W -lg(t) , i | 6 -- ( (W -lg(t))/ z )-( i / x ) -- 3 |
| 1 -> 4 | I J K --> PQW | W , i , w | 1 -- ( W/ z )( i / x )(w / z ) -- 4 |
| 1 -> 5 | I J K -->R T W - R U W - Z U W | W , i , w+q | 1 -- ( W/ z )( i / x )(w+q / z ) -- 5 |
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6 -> 7 |
XG YG ZG--> E N Z |
L , l |
6 -- (L / Z )( - l, Y ) -- 7 |
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7 -> 5 |
E N Z--> RTW |
b |
7 -- (- b / Z ) -- 5 |
| 6 -> 5 | XG YG ZG -->R T W - R U W - Z U W | L , l , b ( longitude, latitude, azimut ) | 6 -- (L / Z )( - l, Y ) (- b / Z ) -- 7 |
II EXPLOITATION DE SEQUENCES UTILES :
Il semble évident que les séquences suivantes :
| 1 -> 5 | I J K -->R T W - R U W - Z U W | W , i , w+q | 1 -- ( W/ z )( i / x )(w+q) / z ) -- 5 |
et
| 1 -> 6 | I J K -->XG YG ZG | lg(t) ( Heure sidérale de Greenwich ) | 1 -- ( lg(t)/ z ) -- 6 |
| 6 -> 5 | XG YG ZG -->R T W - R U W - Z U W | L , l , b ( longitude, latitude, azimut ) | 6 -- (L / Z )( - l, Y ) (- b / Z ) -- 7 |
eliant les paramètres orbitaux aux éphémérides du satellite sont identiques et permettent donc de fournir des relations exploitables.
Nous traduisons donc que les 2 séquences sont identiques, soit par leurs quaternions, soit par leur matrice de passage, soit par leurs matrices de rotation. Travaillant sur les matrices rotations, on a pour la séquence des paramètres orbitaux :
et pour celle des éphémérides, avec un calcul semblable :
On aurait aussi pu traduire l'égalité des quaternions
et développer avec les règles de l'algèbre des quaternions
De toute évidence, il apparaît 3 relations intéressantes, déjà rencontrées par ailleurs:
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cosi = cosl cosb sinl = sini sin(q+w) |
Et une relation permettant d'obtenir la longitude Greenwich L
On y vérifie sans difficulté que si i = 0 ( orbite équatoriale) on a
et avec une orbite polaire ( i = 0 ) une confirmation simple de la longitude
III CALCUL DE DISTANCE ENTRE DEUX POINTS DE LA TERRE :
a) PREMIERE SEQUENCE :
Partant de XYZ, mettons en place la séquence fermée suivante, pas nécessairement la plus utile.:
Classiquement on note les transformations
La séquence fermée pourrait être considérée comme composition de 2 sous séquences P et Q
b) DEUXIEME SEQUENCE :
On souhaite établir des relations entre les angles du triangle sphérique et les coordonnées géographiques. La séquence suivante, avec fermeture finale, semble appropriée
On pourrait ( et je préfère ) mieux traduire la fermeture sous forme circulaire, ce qui ne privilégie aucun départ particulier.
Il est clair qu'avec la vision circulaire, on peut mieux délimiter les séquences intermédiaires. en clair ce qu'on connaît ( en bleu les coordonnées géographiques ) et ce qu'on cherche ( en rouge les angles du triangle sphérique et donc la distance angulaire donnée par l'angle au centre â )
Le lecteur s'entraînera à établir, à l'aide de la figure et des conventions d'écriture ::
2°) a) CALCUL AVEC LES MATRICES ET LA DEUXIEME SEQUENCE CIRCULAIRE:
En découpant la fermeture en 2 parties comme indiqué plus haut, il vient :
On exprime que P = Q* ( inverse = transposée ), soit ( vous terminez le calcul )
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b) CALCUL AVEC LES QUATERNIONS ET LA DEUXIEME SEQUENCE CIRCULAIRE:
Plus rapidement, le lecteur vérifiera :
La relation de fermeture de la séquence ( p= q* ) donne des relations séduisantes par leur symétrie, mais d'aspect très différent de celles trouvées en 2°a)
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C) ON RETROUVE LES RESULTATS DE LA DEUXIEME SEQUENCE CIRCULAIRE:
Il apparaît que les inconnues a, B et C ne sont pas résolues dans les équations ci-dessus, par rapport aux données des coordonnées géographiques..
Voici un essai pour démêler le problème. Il demande une bonne manipulation de la trigonométrie.
1 - Première formule :
2 - Deuxième formule :
On part de l'idée que B et C peuvent se libérer de a par les 2 relations
Ensuite B et C peuvent se séparer par somme et différence comme ceci
On calcule alors séparément N et D, en posant pour alléger t = tg ( D/2 )
Revenons à tg(B)
Achevons de développer le dénominateur
ce qui achève la vérification de la seconde méthode.
Commentaire final: n'ayant jamais vraiment fait les calculs avant, je constate que la méthode classique de trigonométrie sphérique, conduit beaucoup plus facilement aux résultats.
Par contre, il y a bénéfice à faire ces calculs pour ceux qui désirent s'initier aux quaternions, pour d'autres applications.
