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CONTENU : Mis à jour novembre 2005, revu
sept 2011, avril 2013 Cours de mathématiques appliquées |
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Cette
synthèse a demandé des compétences en mécanique que l'auteur a essayé d'exercer
et mathématiques grâce à M CHIAVASSA, professeur à l'école de l'air, dans les
années 90.
NB:
Vous pouvez trouver une excellente présentation de mécanique ( capteurs,
quaternions, angles Euler, matrices ...) à l'URL http://logiciels.cnes.fr/MARMOTTES/marmottes-mathematique.pdf accès gratuit et informations de qualité garantie.
Voir
aussi une synthèse, d'une université
américaine excellemment réalisée
Cette note a pour but de montrer comment sur le plan
informatique, on peut intégrer au mieux les équations du mouvement d'un solide
autour de son centre d'inertie ( satellite en particulier ) . C'est ce qu'on
appelle les équations d'attitude, qui sont particulièrement utiles dans
la mise en place d'un S C A O ( Système de Contrôle d'Attitude et d'Orbite )
notamment dans le cas où l'orientation peut être quelconque.
Le lecteur est certainement familiarisé avec le repérage de
l'attitude d'un corps dans l'espace, à l'aide des angles soit:
o
d'Euler ===> précession y, nutation q, rotation propre j
o
de Cardan ===> lacet Y et tangage Q et roulis F
Ces deux repérages possèdent des indéterminations ou des non
définitions d'angles dans certaines configurations. De plus la mise sous forme
canonique des équations du mouvement s'avère très difficile voire impossible. Il
se pose donc un problème sérieux , sur le plan numérique, dans l'étude d'un
mouvement général.
Généralement les angles d'Euler ou équivalents sont utilisés dans
des équations aux petites variations linéarisées, autour de positions
d'équilibre où les angles sont toujours parfaitement définis ( ce n'est pas le
cas de q = 0 en particulier,
pour les angles d'Euler ).
Les développements qui suivent présentent une théorie
mathématique qui permet de s'affranchir des configurations angulaires
singulières.
L'attitude d'un satellite, c'est à dire son orientation, est
équivalente à la connaissance de la position d'un repère R qui lui est lié,
rapportée à un repère de référence Ro inertiel ou pas.
Or il existe toujours une rotation qui permet de transformer Ro
en R. Cette rotation peut être caractérisée de nombreuses manières :
3 scalaires, des angles par exemple de Cardan ou d'Euler,
avec des singularités de définitions dans certaines configurations.
Une
matrice de rotation P ou de passage avec 9 scalaires reliés par 6 relations ( 3
vecteurs colonnes unitaires et 3 vecteurs lignes unitaires, de plus tP
= P-1 )
La
caractérisation géométrique de la rotation par un axe unitaire et un angle,
soit 4 scalaires reliés par une relation (axe unitaire)
Un
être nouveau que nous allons définir par 4 scalaires avec une relation de norme
1 imposée, le quaternion, objet de cette étude.
Dans tous les cas il y a 3 inconnues.
II INTRODUCTION DES QUATERNIONS:
1°) Rappels sur la rotation instantanée :
La
figure ci-dessous montre :
·
La
base X Y Z de référence qui est en général inertielle, mais ce peut être aussi
le repère orbital.
·
La
base mobile x y z en général liée au solide S en mouvement.
·
Le vecteur rotation instantanée W du solide par rapport
au repère inertiel.
Dans le cas où la base mobile est liée au corps, c'est la rotation de cette
base par rapport à la base absolue.
On
note classiquement W = ( p, q, r ) la matrice des composantes de W(S/Ra) sur la base mobile x y z.
2°) Introduction
des quaternions et de l'algèbre des quaternions :
a) Rotation et quaternion élémentaire :
Géométriquement
il est clair que, quelle que soit la configuration des bases X Y Z et x y z, il
existe deux rotations ( au sens géométrique du terme ) qui permettent de passer
de la base XYZ à la base x y z.
- Rotation d'axe le vecteur u= (a,b,g) et d'angle noté q ( 0 < q< 2p )
- Rotation d'axe le vecteur -u = - (a,b,g) et d'angle 2p-q ( 0 < 2p-q < 2p )
L'idée
a donc été de créer un être mathématique nouveau, à quatre composantes Q,
appelé quaternion, représentant
cette transformation géométrique, à ne pas confondre
avec la rotation au sens de la mécanique qui est un vecteur matérialisant la
vitesse angulaire et l'axe de la rotation.
où
u = ( a, b,
g ) est l'unitaire de l'axe de la
rotation et q l'angle de la rotation.
b) Définition de l'algèbre des
quaternions :
L'algèbre des quaternions est le sous-espace vectoriel H de
l'ensemble des matrices carrées d'ordre 4, engendré par la base {e, i, j, k }
On
peut encore noter ces quatre éléments particuliers:
|
e=( 1 0 0 0) |
i=(0 1 0 0) |
j=(0 0 1 0) |
k=(0 0 0 1) |
Un
quaternion est donc noté sous forme complexe, dans la base canonique e, i, j, k
où
les composantes de Q sont réelles, e est l'élément neutre de la multiplication.
La
première composante qoe est
appelée partie réelle
La
deuxième composante q1i+q2j+q3k
à trois termes est appelée partie imaginaire ou partie
pure.
·
Une partie imaginaire est assimilable à un vecteur.
·
Un quaternion pur a une partie réelle nulle.
L'ensemble P des quaternions purs est un sous espace vectoriel de dimension 3. Tout
quaternion se décompose de manière unique en sa partie réelle et sa partie pure
.
Cet ensemble P isomorphe à R3 est assimilable à
l'ensemble des vecteurs de R3 sur lequel il est aisé de construire
un espace affine de la mécanique.
c)
Opérations dans l'algèbre des quaternions :
Conjugaison
Le
conjugué de Q est noté Q barre
Relations remarquables :
Conjugué(Q.Q')=Conjugué(Q').Conjugué(Q)
Structure d'algèbre : On définit sur l'ensemble H des quaternions des opérations
classiques
·
Une multiplication par un scalaire de définition classique.
·
Une opération d'addition associative et commutative de définition évidente
·
Une multiplication associative mais non commutative en général, distributive par rapport à l'addition et
satisfaisant aux règles de calcul suivantes, fournies par la table:
On
notera sur les trois dernières relations l'analogie avec le produit vectoriel
dans R3.
Un produit scalaire et une norme, un inverserse sur H-{0}
NB : Le produit (multiplication dans l'algèbre) de deux
quaternions purs (c'est à dire éléments de P ) s'explicite aussi à l'aide du
produit scalaire (écriture à l'aide des vecteurs) des quaternions et du produit
vectoriel par analogie avec celui de R3.
les
opérations entre vecteurs sont celles classiques de R3
NB: Les vecteurs de base sont orthogonaux un à un et unitaires.
3°) ENSEMBLE S DES QUATERNIONS DE NORME 1:
Ce
sont ces quaternions qui nous intéressent plus particulièrement pour représenter
les rotations en tant qu'isométries.
On
appelle S le sous groupe de H des quaternions de
norme 1.
Soit
Q un élément de S, posons :
On
montre alors que l'application f est un endomorphisme
orthogonal de P qui se décompose de manière unique sous la forme
où
u est un élément de S ou encore un unitaire .
Ci-dessous la rotation d'angle q et d'axe k qui transforme V en V', nous aurons en termes de
quaternions :
On
établit donc une analogie simple ( bijection ) entre les éléments de S et les
rotations de l'espace R3 d'axe u et d'angle q.
En
termes plus rigoureux il y a homomorphie de groupe
entre S et le groupe des rotations de R3. Autant dire à toute rotation
géométrique on peut associer un quaternion Q et donc l'application linéaire RQ
qui la représente.
4°) COMPOSITION DES QUATERNIONS
OU DES ROTATIONS:
Imaginons
par exemple une application à la mécanique, avec un repérage par les angles
d'Euler précession y, nutation q, rotation
propre j, ce qui donne lieu à 3 rotations
successives dans l'ordre indiqué d'abord y
puis q puis j,, autour d'axes différents, rotations dont nous notons Q1(y), Q2(q),
Q3(j) les quaternions associés et P1(y),
P2(q), P3(j) les matrices de passage associées:
Le lecteur se convaincra aisément des différences opérateur, matrice de
passage et quaternion associé:
que la
rotation totale R résultant de la composition ( symbole o ) des 3 rotations
successives est :
R= R(j)oR(q)oR(y)
que la
matrice de la rotation globale résultant des 3 rotations dans l'ordre y puis q
puis j, est la matrice de passage
P
= P1(y).P2(q).P3(j)
que le quaternion Q associé est le produit (on aura remarqué l'ordre inverse du produit des matrices
de passage):
Q = Q3*Q2*Q1=[q0
q1 q2 q3]
En
effet Si V est un vecteur initial, V1 son image par la rotation y, V2 l'image de V1 par celle en
q et V3 l'image de V2
par celle en j, alors
La
comparaison avec la figure précédente et la relation ci-dessous :
donnera
immédiatement et l'axe de la rotation et son angle a , par:
5°) CALCUL DU TRANSFORME
D'UN VECTEUR :
Résultat
récupéré sur le site http://logiciels.cnes.fr/MARMOTTES/marmottes-mathematique.pdf, donné sans démonstration ( NB : on se méfiera du choix du
signe opposé au nôtre des 3 dernières composantes du quaternion, dans la
définition du quaternion, dans le site CNES ) :
Pour
nous, avec nos conventions, si le vecteur V est l'image du vecteur U par une
rotation de quaternion Q alors V se calcule par :
Naturellement,
on peut toujours utiliser la matrice de passage P pour obtenir les nouvelles
coordonnées, en prenant la précaution de prendre la matrice inverse ou encore
sa transposée, soit V = tP U
Un
autre point de vue consiste à utiliser la définition géométrique de 4° avec q et D
III RAPPEL HISTORIQUE SUR ROWAN HAMILTON:
Vous
aurez remarqué que l'algèbre des quaternions a été notée H. Ceci pour rendre
hommage à Rowan
Hamilton qui le premier a eu l'idée des quaternions et de leur algèbre
particulière, en 1843.
Il
semblerait que les quaternions intéressent plus les sciences appliquées que les
mathématiciens, notamment en traitement du signal, en orthopédie avec la
modélisation des mouvements du squelette humain, et en mécanique soit classique
soit spatiale, dans le suivi des orientations d'un véhicule.
Auteurs en 1994 : M Chiavassa et M
Guiziou / révisions février 1999, avril2001, nov 2002, fev 2004, sept 2011,
avril 2013