MOLNYA SATELLITE

DE TELECOMMUNICATIONS

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PROBLEME

Cette étude, peut vous paraître anachronique, puisque actuellement les satellites de télécommunications sont géostationnaires, et peuvent être placés où on le désire, en longitude, dans le plan équatorial terrestre. Cependant, cette catégorie de satellites est très intéressante à étudier, de part sa trajectoire finement étudiée. C'est aussi une occasion de comprendre le rôle de l'excentricité dans le mouvement relatif à la Terre, pour une orbite très excentrique

I PRESENTATION ET DONNEES :

Les soviétiques, dans les années 1965-1975 ont développé un réseau de télécommunications "domestiques", devant couvrir tout le territoire de l'Union Soviétique. Pénalisé par leurs bases situées à des latitudes élevées, les empêchant de bien profiter de l'entraînement dû à la rotation terrestre, et les obligeant à de fortes corrections d'inclinaison, les soviétiques avaient momentanément opté pour une solution moins coûteuse en énergie, celle des satellites MOLNYA.

DONNEES SATELLITE:

Inclinaison orbitale i = 63°.4

Altitude sol du périgée Zp = 497 km

Localisation ( Cas d'école ): Le 01/01/ 2000 à t = 0 h TU, Molnya passe au périgée, dans le méridien de Greenwich, à une latitude de -63°.4 ( NB: ces données sur la date, le temps et la longitude ne sont données qu'à titre d'exemple et sont différentes pour chaque Molnya de la famille).

DONNEES GENERALES:

mT = 39.86 104 km3s-2, constante de gravitation terrestre

RT = 6378 km, rayon équatorial terrestre

J2 = 1.08253 10-3, constante associée à l'aplatissement terrestre, pour le calcul des perturbations orbitales.

T = 86164.1 s, période sidérale de la Terre

Hypothèse : calculs en hypothèse képlérienne (Perturbations ignorées).

II QUESTIONS SUR L'ORBITE :

Les soviétiques, pour assurer un passage régulier au dessus des mêmes lieux aux mêmes heures de la journée, adoptent un PHASAGE 2/1, ce qui signifie que le satellite effectue 2 périodes pendant que la terre n'en effectue qu'une.

1°) Essayez de trouver une justification de l'altitude élevée du périgée. ( Sinon voir perturbations orbitales )

2°) Calculer les caractéristiques orbitales de Molnya, période T, demi grand axe a, excentricité e, altitude sol de l'apogée.

3°) Expliquer le choix de l'inclinaison i = 63°.4 en fonction du territoire soviétique et des perturbations orbitales.

III ETUDE DE LA TRACE SOL :

1°) En utilisant notamment les données à t = 0 h, montrer que l'argument nodal du périgée vaut w = 270°.

En déduire l'expression de la latitude lS d'un point survolé en fonction de l'angle polaire q ( anomalie vraie) du point.0000

2°) a) Calculer les vitesses absolues Va et Vp, respectivement à l'apogée et au périgée.

b) Montrer que ces vitesses sont parallèles au plan équatorial, et donc normales à l'axe nord-sud de rotation de la Terre.

c) En considérant ces vitesses, comme résultant d'un mouvement circulaire autour de l'axe nord-sud, en déduire les vitesses angulaires de Molnya, wa et wp autour de cet axe.

d) Comparer à la vitesse angulaire wT de la Terre. Conclusions pour l'apogée et interprétation du mouvement relatif vu par un observateur lié à la rotation terrestre.

e) Pourquoi un tel choix pour la mission de télécommunications?

f) Même question pour le périgée et interprétation naturellement différente.

3°) ALLURE DE LA TRACE SOL :

a) Par un raisonnement simple, basé sur les angles de rotation autour de l'axe N-S, placer Molnya sur la carte fournie, aux instants t = 0 h, t = T/2, t = T, t = 3T/2, t = 2T.

b) Calculer les heures de passage aux nœuds ascendant et descendant de l'orbite ( points où l'orbite coupe le plan équatorial). Donner les longitudes Greenwich des nœuds. Commentaires liés au temps d'exploitation !!!

c) Compte tenu de tous les résultats, tracer l'allure de la trace sol de Molnya.

d) Comment imaginez-vous un réseau de télécommunications utilisant une famille de Molnya?

IV COORDONNEES CALCULEES DE LA TRACE :

En utilisant une programmation sur une période, grâce à la routine SURVOL.EXE, vous dresserez un tableau de marche :

a = 26562 km, e = 0.7412 i = 63°.4 w=270° W = 189°.96 date = 01/01/2000 à 0 h 0 mn 0 s

Ces données ( date, heure et W ) sont choisies pour placer le périgée comme dans l'énoncé, dans Greenwich à 0 heure. Ainsi vous retrouvez fidèlement la trace du problème.

SOLUTION

Nous ne donnons que des indications sur la solution d'une question, lorsque les calculs sont classiques et ne détaillons que les réponses demandant de la finesse ou présentant des difficultés d'interprétation.

II ORBITE :

1°) Le périgée est choisi au dessus de 500 km, suffisamment haut pour éviter un frottement atmosphérique ( par traînée) trop fort. On tient ainsi à préserver l'énergie, donc également a et par suite on maintient constante la période et on garantit le phasage et la permanence du survol d'un même point à la même heure. Voir le cours.

2°)La période est la moitié de celle de la terre. T = 43082 secondes. On en déduit donc le demi grand axe a, intimement lié à T, a = 26562 km

L'excentricité s'obtient avec le périgée rp = a(1-e), ce qui donne e = 0.7412

L'apogée est ra = a(1+e) = 46250, soit Za = ra -RT = 39872 km

3°) CHOIX DE i = 63°.4 :

Une explication détaillée est nécessaire. L'aplatissement terrestre est à l'origine de la principale perturbation orbitale. En particulier, deux des paramètres orbitaux w et W sont variables avec en valeur moyenne des dérives constantes données par:

Les soviétiques devaient impérativement s'assurer que l'apogée resterait toujours au dessus de l'URSS. Il fallait donc stopper la dérive du grand axe dans le plan orbital, et pour cela il suffit d'annuler la dérivée de w, en choisissant i = 63°.4 qui annule 5cos²i -1.

NB : la dérive de W joue sur le phasage. Ici la dérive est de - 3.4 10-8 rd/s ou encore de - 0°.168 °/jour. Normalement nous aurions dû prendre une période de 43062 s au lieu de 43082 s soit 20 s d'écart.

III TRACE :

1°) Valeur de w :

Nous utilisons la relation sin lS = sini sin(q+w) au périgée où q = 0 et lS = - 63°.4 = - i, ce qui donne w = 270°.

Ainsi, pour le cas général on a sin lS = - sini cosq.

2°) Vitesses Va et Vp :

a) L'équation de l'énergie appliquées à l'apogée ou au périgée donn aisément :

Vp = 10.047 km/s et Va = 1.494 km/s

b) La figure explique parfaitement le parallélisme des vitesses concernées et de la ligne nodale ( car w = 270°)

Comme la ligne des nœuds est dans le plan équatorial, les vitesses sont donc parallèles au plan équatorial, et donc normales à l'axe nord-sud.

c) Vitesses angulaires :

Pour la vitesse à l'apogée, la distance de l'apogée A à l'axe nord-sud est HA = ra cosi = 20709 km, comme Va= wa HA, il vient wa = 7.213 10-5 rd/s.

Au périgée un calcul analogue donnerait wp = 3.264 10-3 rd/s.

d) Comparaison avec la Terre :

La Terre tourne à la vitesse angulaire wT = 7.292 10-5 rd/s , donc la vitesse angulaire de Molnya, wa autour de l'axe nord-sud est quasi identique à celle de la terre, tout en étant très légèrement inférieure. Cette propriété confère à Molnya les avantages suivants en e):

e) Pourquoi ce choix :

  Au voisinage de l'apogée, Molnya est quasi stationnaire par rapport à la Terre et de plus comme la vitesse est faible, la stationnarité dure longtemps. Donc Molnya apparaît comma quasi géostationnaire, ce qui est pratique pour les télécommunications.

  Comme la vitesse angulaire est un peu plus faible que celle de la Terre, Molnya donne l'impression de revenir en arrière, avant de repartir de l'avant. Ce qui va donner une boucle au niveau de l'apogée et prolonge ainsi la quasi stationnarité.

Par contre l'inconvénient est de nécessiter une réception avec des moyens orientables, au sol.

 f) Au périgée :

Comme la vitesse angulaire, au périgée, autour de l'axe nord-sud est beaucoup plus grande que celle de la Terre, Molnya se déplace rapidement vers l'Est comme si la terre était fixe, et remonte aussi vers le nord, vue la forte inclinaison. Ainsi Molnya reste très peu de temps dans l'hémisphère sud, pour être surtout utilisé au dessus des latitudes élevées.

3°) Tace au sol :

Il s'agit de préciser le lieu des points survolés, sur une période, puisque nous savons que cela suffit pour connaître le lieu à tout instant, avec une translation en longitude de -180°.

a) Positions particulières :

  t = 0 h, c'est le périgée, dans Greenwich à une latitude de - 63°.4

  t = T/2, pratiquement 6 h. Le plan méridien attaché à Molnya a tourné autour de l'axe nord-sud de 180°, et pendant ce temps la terre a tourné de + 90°. Donc la longitude de Molnya est de + 90°, alors que la latitude est de + 63°.4

  t = T, presque 12 h, longitude 180° et latitude - 63°.4

  t = 3T/2, presque 18 h, longitude -90° et latitude 63°.4

  t = 2T, presque 24 h, longitude 0° ou et latitude - 63°.4

b) Passage aux nœuds :

Le lecteur se convaincra, soit avec la géométrie classique, soit avec la formule de la latitude que lorsque Molnya traverse l'équateur, l'anomalie vraie ( Angle polaire ) q vaut 90° au nœud ascendant et 270° au nœud descendant.

L'anomalie excentrique j vaut respectivement pour ces deux points:

 Le calcul du temps écoulé depuis le périgée est simple par :

REMARQUES :

De toute évidence, le satellite ne sera exploité que dans l'hémisphère nord. Il faut donc qu'il passe le plus de temps possible dans l'hémisphère boréal. Ce que les russes réussissent à merveille, puisque le temps de séjour entre les deux nœuds est d'environ 1 heure côté sud et 11 h côté nord.

Longitudes Greenwich des nœuds :

Lorsque Molnya survole le nœud ascendant de son orbite, le méridien lié à Molnya a tourné de 90° autour de l'axe nord-sud de la Terre, qui durant les 1634.6 s de vol a elle tourné de 6°.83, la longitude réelle est donc de 83°.17.

Au nœud descendant un raisonnement identique vous conduira à une longitude de 96°.83.

c) Compte tenu de tous les résultats, tracer l'allure de la trace sol de Molnya.

Les questions vous guident pour construire une allure de la trace.

1 - Position à t = 0 s dans Greenwich, latitude de - 63°.4

2 - La vitesse linéaire et angulaire est maximale vers l'Est, la trace s'étale donc très parallèle à l'équateur, vers l'Est.

3 - Survol du nœud ascendant après 27 mn de vol (Longitude = 83°.17 Latitude = 0°

4 - A T/2 Molnya est déjà à l'apogée, avec une vitesse relative à la terre très faible, presque arrêté, et donnant une impression de recul vers l'Ouest. Molnya est pratiquement géostationnaire pendant un temps important de 5 à 6 heures.

5 - Par analogie ou symétrie, vous construirez le rets de la trace, d'une part en observant le phasage ( fermeture sur 2 périodes), d'autre part en utilisant les positions calculées. Le résultat a l'allure ci-dessous :

d) Comment imaginez-vous un réseau de télécommunications utilisant une famille de Molnya?

 Force est de constater qu'un Molnya n'est opérationnel, du moins pour les télécommunications domestiques, qu'une période toutes les deux périodes. Compte tenu de la méthode qui consiste à utiliser un Molnya environ 4 heures au voisinage de l'apogée, il faut prévoir 6 satellites par orbite. De plus pour des télécommunications qui recouvrent tout le territoire y compris l'océan Pacifique, il faut répartir ces satellites sur des orbites espacées de 60°. On a donc affaire à une constellation de 24 satellites.

 IV COORDONNEES CALCULEES DE LA TRACE :

En utilisant une programmation sur une période, on obtient le tableau de marche suivant :

Les données choisies sont pour l'exemple ci-dessous:

a =26562 km, e = 0.7412, i = 63°.4, w = 270°, W = 189°.96 date tp = 01/01/2000 à 0 h 0 mn 0 s

et les résultats pour une période et 20 points sont:

Vous pourrez recommencer avec le MOLNYA du problème, à condition de recalculer W en particulier

Guiziou Robert revu octobre 2005

Une version optimisée pour la mise en page existe

Au format Word 97 : MOLNYA.DOC