TRIGONOMETRIE SPHERIQUE

CONTENU : Mis à jour 12 janvier 1999

I Définitions de base

Triangle sphérique

Angles remarquables

II Relations trigonométriques

Relation générale

Relation des sinus

Résumé de l'ensemble des relations trigonométriques

III Triangle rectangle

 

Ce chapitre est traite de compléments de trigonométrie sphérique qu'on ne peut pas ne pas connaître, tant l'usage en est répandu en astronautique et astronomie.

I DEFINITIONS DE BASE:

1°) TRIANGLE SPHERIQUE :

Considérons une sphère de centre O et de rayon unité, et sur sa surface 3 points A, B, C non tous trois situés sur un même grand cercle de la sphère. Ces 3 points constituent les sommets d'un TRIANGLE SPHERIQUE, dont les cotés sont les arcs des 3 grands cercles de la sphère, qui passent respectivement par AB, AC, BC.

2°) ANGLES :

On peut alors définir des angles.

NB : si un des angles au sommet est égal à 90°, on dit que le triangle est rectangle.

REMARQUE : La somme des angles au sommet n'est pas comme pour un triangle plan, égale à 180°, mais supérieure à 180°.

II RELATIONS TRIGONOMETRIQUES :

Nous allons établir les relations les plus générales dans un triangle sphérique quelconque.

1°) RELATION GENERALE :

Les vecteurs OB et OC sont décomposés sur u et w (resp v et w ), ce qui donne :

ce qui donne

2°) RELATION DES SINUS :

Il est clair que les sinus de tous les angles sont positifs, ainsi on peut écrire :

La dernière relation est invariante par permutation circulaire des variables a, b, c. Donc nous obtenons une relation remarquable du triangle sphérique, appelée RELATION DES SINUS :

3°) RELATIONS GENERALES :

4°) EXEMPLE : Distance entre 2 points de la terre:

Soient 2 lieux donnés par leur coordonnées géographiques, longitude et latitude, B=( Lo, lo ), C=( L1, l1 ). Le rayon terrestre étant noté RT, le lecteur établira , en utilisant un triangle constitué de B, C, et du pôle nord A, que la plus courte distance entre B et C, mesurée sur un grand cercle (distance loxodromique ou géodésique) est :

II CAS PARTICULIER DU TRIANGLE RECTANGLE EN A

Comme la trigonométrie sphérique est souvent utilisée sur terre, avec souvent 2 grands cercles très particulier et orthogonaux : l'équateur terrestre ou un parallèle quelconque et un méridien, ce cas revêt un intérêt particulier. Le lecteur pourra s'exercer à retrouver les relations ci-dessous.

Exemple, pour les points survolés :

Le triangle sphérique à considérer est S''NS'~ ABC rectangle en A. B = S'NS'' = i, NOS' = a = q+w, S''Os' = lS = b. La relation des sinus donne immédiatement le résultat cherché, à savoir :

Formule importante déjà rencontrée.

Guiziou Robert décembre 1998