TRIGONOMETRIE SPHERIQUE |
CONTENU : Mis à jour 12 janvier 1999 |
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Ce chapitre est traite de compléments de trigonométrie sphérique qu'on ne peut pas ne pas connaître, tant l'usage en est répandu en astronautique et astronomie.
Considérons une sphère de centre O et de rayon unité, et sur sa surface 3 points A, B, C non tous trois situés sur un même grand cercle de la sphère. Ces 3 points constituent les sommets d'un TRIANGLE SPHERIQUE, dont les cotés sont les arcs des 3 grands cercles de la sphère, qui passent respectivement par AB, AC, BC.
On peut alors définir des angles.
NB : si un des angles au sommet est égal à 90°, on dit que le triangle est rectangle.
REMARQUE : La somme des angles au sommet n'est pas comme pour un triangle plan, égale à 180°, mais supérieure à 180°.
II RELATIONS TRIGONOMETRIQUES :
Nous allons établir les relations les plus générales dans un triangle sphérique quelconque.
Les vecteurs OB et OC sont décomposés sur u et w (resp v et w ), ce qui donne :
ce qui donne
Il est clair que les sinus de tous les angles sont positifs, ainsi on peut écrire :
La dernière relation est invariante par permutation circulaire des variables a, b, c. Donc nous obtenons une relation remarquable du triangle sphérique, appelée
RELATION DES SINUS :4°) EXEMPLE :
Distance entre 2 points de la terre:Soient 2 lieux donnés par leur coordonnées géographiques, longitude et latitude, B=( Lo, lo ), C=( L1, l1 ). Le rayon terrestre étant noté RT, le lecteur établira , en utilisant un triangle constitué de B, C, et du pôle nord A, que la plus courte distance entre B et C, mesurée sur un grand cercle (distance loxodromique ou géodésique) est :
II CAS PARTICULIER DU TRIANGLE RECTANGLE EN A
Comme la trigonométrie sphérique est souvent utilisée sur terre, avec souvent 2 grands cercles très particulier et orthogonaux : l'équateur terrestre ou un parallèle quelconque et un méridien, ce cas revêt un intérêt particulier. Le lecteur pourra s'exercer à retrouver les relations ci-dessous.
Exemple, pour les points survolés
:Le triangle sphérique à considérer est S''NS'~ ABC rectangle en A. B = S'NS'' = i, NOS' = a =
q+w, S''Os' = lS = b. La relation des sinus donne immédiatement le résultat cherché, à savoir :Formule importante déjà rencontrée.
Guiziou Robert décembre 1998