PROJET SATELLITE N°3

I GRANDES LIGNES DE L'ETUDE : Problème de LAMBERT. Détermination d'une orbite képlérienne reliant deux positions orbitales, non alignées avec le centre attractif, en un temps t fixé.

II RESOLUTION DU PROBLEME DE LAMBERT :

Il a été démontré que ce problème admet une solution unique. Sa résolution numérique nécessite d'utiliser la théorie de GIBBS, que vous devez consulter dans les pages de cours.

La théorie de Gibbs permet de déterminer l'orbite képlérienne, unique, qui passe par trois positions coplanaires, non alignées, d'un corps en mouvement képlérien, dans un champ de gravitation.

III PROPOSITION POUR RESOUDRE CE PROBLEME :

1°) Repère de travail : Géocentrique équatorial pour les applications terrestre, héliocentrique écliptique pour les voyages interplanétaires, hors sphères d'influence.

Dans ce repère sont connues deux positions S1 et S2, par les composantes des rayons vecteurs r₁ et r₂, non proportionnels.

2°) Proposition : il est clair qu'il existe une infinité de trajectoires képlériennes (Ellipses ou Hyperboles) passant par ces deux points et de plan orbital défini par le centre attractif O et les deux positions S1 et S2.

On pressent donc qu'il va falloir effectuer un balayage à un paramètre l, pour trouver celle, unique, de ces orbites qui donne une durée de voyage égale à t.

On peut par exemple se donner une troisième position dans le plan orbital définie par:

grâce à la convexité de toute conique en tout point. Les 3 points M1, M2, M3 définissent de manière unique une conique C(l).

La détermination de C(l) et de ses paramètres orbitaux utilise la théorie de GIBBS. On pourra alors évaluer le temps t* pour parcourir l'arc M1M2. Une comparaison avec t et un bouclage devraient permettre de calculer la bonne valeur de l et de préciser définitivement la conique.

NB1: On veillera à bien distinguer l'ellipse de l'hyperbole notamment pour les calculs de temps.

NB2: On veillera aussi à bien distinguer tous les cas possibles de position sur l'orbite, car les calculs de temps en dépendent.

NB3: Pour déterminer si le satellite "grimpe" ou "descend" en un point, on teste: la quantité:

NB4 : La précision de convergence du temps vers sa valeur imposée, va naturellement nécissiter un écart de temps acceptable e , petit devant la durée du voyage, donc pour des voyages interplanétaires, on pourra par exemple accepter e = 1 ou 2 heures, mais pour des orbites circumterrestres, il faudra travailler au niveau de la seconde :

IV RESULTATS SOUHAITES :

1°) Que la routine ainsi réalisée puisse devenir un outil utile à d'autres.

2°) Si tel était le cas, prévoir une interface avec boites de saisie des données et sortie en fenêtre des paramètres orbitaux de l'orbite (ellipse ou hyperbole) et vitesses de départ et d'arrivée.

V APPLICATIONS PRATIQUES :

Libre cours à votre imagination pour présenter une validation des calculs sur un cas concret.

Les routines suivantes et d'autres sont fournies dans le pack PROJ_SAT.ZIP à télécharger.

1- EPHEMERI.EXE qui donne les éphémérides des planètes.

2 - DEUX_PTS.EXE pour confirmation des résultats du problème de Lambert.

3 - TROIRAY.PAS ET TROIRAY.TPU, une unité traitant le problème de Gibbs, utile pour votre projet.

Enfin, en intranet, ou si vous avez une copie du site, allez voir dans le répertoire PROG_C¤¤, vous y trouverez peut être des fonctions préprogrammées.

Guiziou Robert 17 décembre 1999, sept 2011