PROPULSION A FAIBLE POUSSEE

 

A : Poussée orientée suivant la vitesse

I PRESENTATION :

Actuellement, la propulsion des gros lanceurs ou des sondes spatiales est assurée par des moteurs - fusées délivrant des poussées de quelques newtons à plusieurs millions de newtons. Même pour des manoeuvres à faible incrément de vitesse, les moteurs verniers délivrent des poussées de quelques newtons à quelques dizaines de newtons. Ces moteurs fonctionnent en général par combustion chimique d'ergols ou par détente de gaz froids .

Depuis longtemps les ingénieurs ont pensé à une propulsion d'un type nouveau à très petit débit de particules et grande vitesse d'éjection, pouvant produire des accélérations très faibles de quelques mm s-2 ou moins, ou encore à .utiliser la poussée photonique due à la réflexion de la lumière solaire sur des surfaces spécialement aménagées sur le véhicule ( concept de voile).

De toute évidence, ce type de propulsion à faible poussée ne peut être utilisé pour la mise en orbite et les applications doivent se limiter à des mises en vitesse sur des durées très longues ou à des opérations de maintenance fine d'un satellite à poste.

II PARTIE THEORIQUE :

Nous allons donc supposer qu'un engin est primitivement sur une orbite circulaire autour d'un astre (Terre , Soleil ou planète) de constante m, à une distance ro du centre et une vitesse Vo. On notera go l'accélération du champ de gravité sur cette orbite et g sa valeur à une distance r.

Dans cette première étude nous supposons la faible poussée appliquée constamment dans le sens de la vitesse de l'engin de manière à avoir la puissance et l'efficacité maximum.

1°) Equations du mouvement.

Les conditions initiales sont données position ro, vitesse Vo tangente au cercle de départ.

Les variables sont r, V, a où a est l'angle du vecteur vitesse et de l'unitaire radial. F désigne le module constant de la poussée, mg le module de la gravitation à la distance r.

Variables sans dimension à introduire.

Pour la commodité du calcul on introduira des variables sans dimension.

 

2°) Système de base

Vous établirez les équations du mouvement suivantes, en projetant successivement l'équation vectorielle de la loi fondamentale sur la tangente et sur la normale à la trajectoire, enfin en exprimant la vitesse radiale.

Ces trois équations constituent un système fermé permettant le calcul de r, v, a, par une méthode d'intégration de votre choix.

NB : Pour obtenir (3) il est conseillé d'utiliser le calcul suivant de l'accélération normale, en coordonnées polaires :

Gn = -Gr sin a + Gq cos a

3°) Equations supplémentaires

Pour définir complètement la position de l'engin dans le repère galiléen de référence vous établirez une équation simple de mécanique classique, fournissant l'angle polaire q.

De même on aimerait suivre l'évolution des éléments osculateurs a, e. Vous montrerez qu'avec les variables sans dimension, on peut définir une énergie adimensionnée E*.

On appelle S la distance totale parcourue sur la trajectoire, c'est à dire l'abscisse curviligne classique mesurée depuis une origine correspondant temps de début de poussée.

On posera une variable adimensionnée s* vérifiant s =f s*, vous montrerez qu'elle satisfait à:

f s* = E* - E*o

Vous établirez notamment que lorsque l'engin atteint la vitesse de libération la distance totale est S = ro/2f

4°)Mise en équations classique

Si la mise en équations précédente ne vous convient pas vous pouvez tout aussi bien intégrer le système suivant d'ordre 2 , avec les variables réduites, déduites des coordonnées X et Y du mobile

Le système différentiel est alors de toute évidence:

Avec des conditions initiales adaptées que vous rechercherez.

III TRAVAIL INFORMATIQUE

Vous réaliserez un programme d'intégration numérique qui se terminera au moment de la libération (E* = 0), et donnerez pour les valeurs suivantes de f :10-1,10-2, 5 10-2, 10-3, 5 10-3, 10-4

l'accélération réelle g de l'engin, la durée t* en jours de la mise en vitesse, la distance R* où se trouve l'engin et la vitesse V* au moment de la libération, le nombre N* de tours qu'il a effectué autour de l'astre. Vous vérifierez une formule empirique qui n'a pas pu être établie encore analytiquement N*=0.04/f:

Vous commenterez l'influence de la distance au centre initiale ro sur la manoeuvre de mise en vitesse.

Par ailleurs autour du Soleil, il peut être intéressant d'étudier si ce genre de propulsion peut être utilisé efficacement et en particulier si tel était le cas combien de temps une sonde mettrait, partant de l'orbite de la Terre, à 150 106 km du Soleil, utilisant une poussée faible donnant 1 mm/s2 d'accélération, pour atteindre pratiquement l'orbite de mars supposée circulaire à 228 106 km du Soleil. De même, en faisant f < 0 vous pourriez envisager une "descente" vers Vénus ou Mercure.

Un tracé des trajectoires en coordonnées polaires est souhaité. Ces trajectoires de forme classique seront graduées en temps.

NB: Vous ferez un rappel des principaux procédés de propulsion et notamment expliquerez les principes de la propulsion ionique ou plasmatique.

A : Poussée d'orientation fixe

Nous envisageons maintenant un nouveau problème voisin du précédent, celui de la propulsion donnant une accélération faible mais constante (orientation et module). Ce problème est ancien mais retrouve aujourd'hui une jeunesse certaine avec les études sur la propulsion photonique, utilisant la lumière du soleil.

Pour simplifier cette vaste étude, nous considérons que dans le plan fixe stellaire (x, y) l'orbite de départ est elliptique ou circulaire de périgée sol 200 km et d'apogée variable, naturellement supérieur à 200 km. L'axe de cette orbite est parallèle à l'axe des y, et la propulsion communique à l'engin une accélération faible g = f go, où go est la valeur de l'accélération de la gravitation à 200 km, f variant de 10-6 à 10-2. Cette accélération est prise dans notre étude parallèle à l'axe des x.

Vous prendrez comme variables absolues les coordonnées x , y du satellite r désigne le rayon vecteur.

On introduit comme dans l'étude précédente, des variables sans dimension qui simplifient l'écriture des équations et les rendent plus générales:

Vous établirez sans difficulté les équations du mouvement suivantes

Vous tracerez des trajectoires bien choisies car la variété ne manque pas. En particulier vous tenterez de détecter certaines trajectoires qui pourraient percuter la Terre ( par tatonnements uniquement, le problème étant analytiquement insoluble ).

Que pensez vous de l'éclairement solaire qui exerce pratiquement sur une durée de quelques jours une accélération constante sur les satellites?

Vous tenterez aussi une étude avec comme orbite de départ l'orbite géostationnaire et f = 0.123 f=0.129 f=0.133 f=0.135 le point initial où commence l'action de la poussée faible étant à - 90° de l'axe des x. Ces cas particuliers permettent au correcteur de vérifier la validité des calculs.

Ne soyez pas étonné de l'extrême sensibilité des trajectoires quand f varie de manière minime.

Vous essaierez aussi des valeurs très faibles de f, de l' ordre de 0.01, pouvant simuler des perturbations orbitales par exemple.

NB1 : Les voiles solaires entrent dans la catégorie des systèmes fournissant une force faible et constante, peut-être pourriez-vous dire un mot de ce genre de propulsion.

NB2 : Bibliographie: "ESSAIS SUR LE MOUVEMENT DES CORPS COSMIQUES" de V BELETSKI est un excellent ouvrage dont la lecture des pages 73 à 93, ainsi que de 216 à 233, est très instructive.

Guiziou octobre 1998, sept 2011