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PROPULSION PHOTONIQUE OPTIMISATION DU GAIN D'ENERGIE |
La première chose qui vient à l'esprit est de chercher à optimiser le gain d'énergie. Quand on sait que pour une orbite képlérienne l'énergie est intimement liée au demi grand axe a, on conçoit que grâce à la propulsion photonique on puisse modifier le grand axe et la forme de l'orbite. Nous verrons plus loin que l'excentricité peut être modifiée ainsi donc que le périgée et l'apogée d'une orbite elliptique.
Considérons un voilier solaire de vitesse instantanée absolue V, constitué d'une partie propulsive équivalente à une voile plane parfaitement réfléchissante de surface S, orientée par une normale n.
Il est facile de constater qu'à part la configuration où le vecteur vitesse pointe le Soleil, on peut toujours orienter le plan de la voile pour que la pression photonique p crée une force ayant une projection positive sur V permettant donc d'accélérer le voilier et de gagner de l'énergie.
REGLE SIMPLE : Il suffit pour cela de placer le plan de la voile "entre le vecteur vitesse et la direction du soleil" .
I Critère de maximisation du demi-grand axe a :
La propulsion photonique se révèle extrêmement petite devant la force principale d'attraction terrestre ou solaire (dans le cas de voyages interplanétaires).
Exemple numérique
:Voilier avec S/m = 15 le rapport des accélérations dues à la force photonique et la gravitation vaut 1.4 10-6 en orbite basse et 6 10-4 au niveau de l'orbite géostationnaire .
L'étude de la trajectoire peut être entreprise en considérant l'accélération photonique comme une accélération perturbatrice petite agissant sur des durées très longues.
A chaque instant on identifie les caractéristiques essentielles de la trajectoire perturbée à ceux de la trajectoire képlérienne non perturbée, appelée aussi osculatrice ( c'est à dire corps soumis, à compter de cet instant, à la seule accélération centrale due au champ de gravitation newtonien ).
Il en sera ainsi du demi grand axe a de l'ellipse osculatrice, qui est donc fonction du temps t.
1°) Lien entre la force de propulsion et le demi grand axe de l'ellipse trajectoire.
Nous savons que si V désigne la vitesse et r le rayon vecteur mesuré depuis le corps central l'énergie spécifique E, par kg envoyé, vaut
l'énergie totale mécanique est on le rappelle ET = mE
Un critère naturel de performance s'est au départ imposé à tous, celui de maximiser a.
Le théorème de l'énergie cinétique indique que la différentielle de l'énergie mécanique est égale à la somme des travaux élémentaires de toutes les forces autres que la gravitation, en jeu sur le satellite, ici une seule force, la poussée photonique du moins dans le cas simplifié qui nous intéresse.
Cette relation montre parfaitement que pour obtenir une augmentation maximale du demi grand axe il faut maintenir une dérivée positive maximale (ce qui est en théorie toujours possible).
Conclusions
:
doit être maximale
2°) Comment placer la normale à la voile pour optimiser la propulsion au sens du critère précédent?
Le problème se pose à chaque instant, en termes simples, indépendants de la trajectoire mais dépendant uniquement de la vitesse V.
Un véhicule M à un instant t possède un vecteur vitesse V et voit le soleil dans une direction de vecteur unitaire u, il se propulse à l'aide d'une voile solaire donnant une poussée idéale dans une direction n .Nous avons posé:
Comment disposer le vecteur n
par rapport à la vitesse et au Soleil?SI une normale optimale n existe et fait l'angle
y avec l'axe u, elle se trouve alors sur un cône d'axe u et de demi angle d'ouverture y. Il est alors évident que le minimum de l'angle y1 est atteint pour une normale n dans le plan u ,V et "entre" u et V. Ce raisonnement est vrai quel que soit a pourvu que y < a (cas ci dessous).Le lecteur pourra montrer que le cas
y > a ne peut pas donner un maximum maximorum positif de f.Ainsi dans tous les cas la normale n ne peut se trouver qu'entre u et V , le cas de figure retenu est donc le suivant :
Nous définissons les quantités suivantes
L'optimisation consiste à maximiser la projection de la force photonique sur la direction de la vitesse donc à maximiser la quantité f.
Il ne reste plus qu'à calculer la valeur
ymax qui rend f maximale positive.
On ne conservera que la solution
ymax comprise entre 0 et 90°. Par quelques transformations trigonométriques de l'expression :
il vient:
Remarque
: en fait la position optimale de la voile est pratiquement la moitié de l'angle a, le maximum d'écart ayant lieu lorsque a = 90°Reste à déterminer la direction de la normale n, or il est évident que n est toujours disposée dans le plan des unitaires u et x3 .
Le lecteur réalisera les calculs qui donnent:
Le cas a= 0 est simple puisque physiquement il suffit de recevoir la lumière "vent arrière", .
Le cas a = p est plus délicat parce que n n'est plus définie comme précédemment, la voile est mise en "drapeau", il suffira donc de prévoir ce cas par une marge de sécurité angulaire de quelques degrés sur a.
Remarque: Un collègue mathématicien, professeur à l'école de l'air, M Chiavassa fait observer à juste titre, que la présence de a au dénominateur, crée sur le plan calcul une singularité et suggère éventuellement de travailler dans la base particulière liée au mouvement avec les axes x2 et x3 dans lesquels:
Pour conclure, l'orientation de la voile doit évoluer constamment, comme la figure ci-dessous le montre, avec un problème majeur à résoudre, celui du retournement. Dans la configuration présente il doit avoir lieu au périgée. Un retournement est d'ailleurs obligatoire dans toutes les configurations.
