GRADIENT DE GRAVITE

( Solution )

Expression de la force élémentaire :

Nous traduisons simplement la force de gravitation élémentaire sur la masse dm, soit

Expression du moment élémentaire :

La force df a un moment calculé en G qui vaut :

Développement limité du moment élémentaire :

L'idée est naturellement que r est très petit devant r ( r<<r donc r/r << 1) le développement limité à l'ordre 1, portera se fera par rapport à r/r

Donc, on est amené à évaluer OM avec l'angle OGM = k visible sur la figure, et on néglige (r/r)² devant r/r

Ne reste plus qu'à revenir au moment élémentaire pour obtenir l'expression souhaitée, d'abord du moment élémentaire:

puis du moment général résultant de l'intégration dans tout le solide.

L'intégrale se laisse apprivoiser assez simplement, en commençant par exprimer que G est centre d'inertie du solide soit

Puis avec les composantes de r à ( ra rb rg ) et les coordonnées de r -> ( x y z ), et avec la définition de k, on a

On exploite enfin les connaissances classiques sur la matrice d'inertie principale soit d'abord avec les produits d'inertie :

Expression avec une matrice d'inertie principale :

puis les moments d'inertie par rapport aux axes classiquement nommés X de roulis, Y de tangage, Z de lacet

Explicitons le produit vectoriel

La fin du calcul fournie dans le texte devient :

Avec les angles de Cardan ( RTL) =(Roulis-Tangage-Lacet) =( F, q, Y ), le calcul de a, b, g cosinus directeurs de Z donne sur les axes principaux x y z du satellite

Le couple de gradient de gravité vaut exprimé en axes satellite ( Voir les angles de Cardan sur ce site ):

avec la pulsation orbitale

Pour de petits angles en contrôle d'attitude notamment en ne gardant que les termes d'ordre 1

On remarquera que l'exploitation du gradient de gravité nécessite notamment des moments d'inertie bien différenciés , ce qui explique le déploiement de mâts avec des masses en bouts de bras.

Expression avec une matrice d'inertie non diagonale ( ce que l'on fait rarement )

Si on reprend l'intégrale générale, donnée plus haut :

Le lecteur achèvera les calculs, en faisant cette fois-ci apparaître les produits d'inertie.

Une façon élégante de résumer ce calcul est ( le lecteur pourra le vérifier ) d'écrire le couple gradient sous la forme :

Avec les composantes a b g de Z( sur x y z )

On obtient :

formule dans laquelle on retrouve le terme correspondant à la partie diagonale de la matrice d'inertie et un terme complémentaire du aux produits d'inertie.

Cas des petits angles :

NB : Il peut sembler étonnant qu'avec des angles nuls ( repère XYZ = repère xyz), il reste un couple de gradient de gravité constant, entraînant qu'un équilibre est impossible avec une matrice d'inertie non diagonale.

Peut-on imaginer une attitude conduisant à un couple nul? Si tel est le cas, les angles q et Y doivent vérifier 3 équations, ce qui laisse supposer ( je n'ai pas fait le calcul ) que c'est impossible, car il faudrait que la matrice d'inertie vérifie des relations trop particulières !!.

Si quelqu'un a un avis sur cette question, qu'il me le communique!!

Guiziou Robert novembre 2013