CALCUL D'UNE DATE D'INJECTION EN MISSION INTERPLANETAIRE

Ce projet extrêmement intéressant est d'actualité. Il se propose de calculer la date et l'heure ainsi que les conditions de départ optimales d'un tir interplanétaire, vers une planète choisie, par exemple Mars. Compte tenu des possibilités propulsives et des pénalités, on réfléchira à la fenêtre de tir. Dans un premier temps, on ne se préoccupera pas des perturbations orbitales qui affectent notamment l'orbite de parking. On envisagera leur effet qu'une fois l'étude mise au point.

Vous pouvez résoudre le projet soit en Pascal soit en C++

I PRESENTATION DU PROBLEME :

1°) VITESSE A L'INFINI IMPOSEE :

Un voyage cers une planète, un astéroïde ou une comète P est prévu. Pour l'instant, nous supposons qu'un premier stade d'optimisation sur le transfert interplanétaire a déjà été réalisé. Cette optimisation a conduit à la détermination de :

La date de départ JJ₀ en jours juliens nouveaux, à la limite de la sphère d'influence de la terre.

La date d'arrivée JJ₁ en jours juliens nouveaux ,à la limite de la sphère d'influence de la planète ou directement dans la très proche banlieue de l'astéroïde ou de la comète.

NB : Allez dans les routines et récupérez l'unité Pascal JourJuli.tpu, pour vos programmes et J_Julien.exe ou Date_cal.exe pour une conversion des jours. Vous disposez aussi d'une unité de manipulations des dates DATES.TPU.

La vitesse absolue d'arrivée, sur le transfert.

La vitesse absolue de départ sur le transfert.

Donc, en déduisant la vitesse de la terre à la date de départ on en déduit la vitesse à l'infini de départ, par ses composantes dans un des repères classiques, héliocentrique écliptique ou géocentrique équatorial, associé à J2000. C'est donc, la donnée de base imposée.

Les composantes ainsi que la norme sont connues et supposées données. Vous pourrez également, si nécessaire déduire l'ascension droite et la déclinaison de la vitesse à l'infini.

	Vecteur vitesse à l'infini ou norme de la vitesse
	Déclinaison géocentrique de la vitesse à l'infini de départ
	Ascension droite géocentrique de la vitesse à l'infini de départ

APPLICATION :

Votre premier travail sera de programmer en 2003, une mission martienne à moindre coût, c'est à dire en transfert de type Hohmann.

a ) Vous "dégrossissez" le problème en commençant par simplifier, avec les orbites de la Terre et de mars, dans l'écliptique, circulaires, de rayon 149.6 10⁶ km pour la terre et 228 10⁶ km pour Mars. Pour ce calcul les éphémérides ne sont pas nécessaires.

Vous donnerez , c'est une première estimation:

La durée du voyage en jours

L'angle orienté de configuration a₀ entre les vecteurs Soleil - Terre et Soleil - Mars.

b ) Vous écrirez au bureau des longitudes ( Adresse: 77 Avenue Denfert-Rochereau, 75014 PARIS TEL: 01 40 51 22 21) , pour obtenir à la date du 01/01/2003, les paramètres orbitaux osculateurs des planètes Terre et Mars.

Vous pouvez aussi aller chercher les éphémérides ou les paramètres orbitaux osculateurs, sur le site du BDL (http://www.bdl.fr/ BUREAU DES LONGITUDES) ou sur in situ, ce site lui même en téléchargeant un ensemble de routines en provenance du BDL : EPHEMBDL.ZIP

NB : Vous pouvez aussi, utiliser les unités TERRE.TPU et MARS.TPU, qui sont des éphémérides approchées des planètes, ou bien directement DEUX_PTS.EXE adapté à votre goût.

Ainsi vous pourrez vérifier que la Terre à la date D1= 16/06/2003 à 0 h et Mars à la date D2 = 05/03/2004 à 12 h ont des longitudes pratiquement décalées de 180°. Ceci signifie, que si les plans orbitaux étaient confondus, nous serions en configuration de tir d'énergie minimale. Cependant si vous faites tourner la routine DEUX_PTS EXE, vous trouverez un transfert étonnant. Pas si étonnant en réalité, vous y réfléchirez en repartant des prémices du problème de Lambert et expliquerez le résultat.

OUTIL A VOTRE DISPOSITION EN LANGAGE C++ :

Vous devrez résoudre à de nombreuses reprises ( souvent en processus itératif ) le problème de Lambert qui consiste à déterminer une trajectoire képlérienne joignant 2 points en un temps fixé, avec une solution elliptique ou hyperbolique.

Deux de vos prédécesseurs ont mis au point en langage C++ un programme qui résout ce problème. Vous trouverez les routines sources et exécutable dans un ensemble LAMBERTC.ZIP. A vous le travail d'adapter cet outil pour résoudre vos problèmes.

Pour ce qui est des planètes, vous pouvez aller chercher les éphémérides ou les paramètres orbitaux osculateurs, sur le site du BDL (http://www.bdl.fr/ BUREAU DES LONGITUDES) ou sur ce site lui même en téléchargeant un ensemble de routines en provenance du BDL : EPHEMBDL.ZIP

AIDES EN PASCAL : Pour des manipulations de dates hors programmation en C, vous pourrez utiliser DATE_CAL.EXE pour transformer une date julienne en date calendaire et DATE_JULI.EXE pour une transformation inverse.

c ) ABAQUES D'ISO VITESSE INFINIE DE DEPART :

Vous programmerez, dans le repère héliocentrique écliptique, les coordonnées exactes des deux planètes entre les dates [ D1-40j, D1+30j] x [D2-20, D2+100], au total 8400 cas.

Chaque cas fournit une vitesse à l'infini de départ et une constante C3.

Vous chercherez un couple (JJ₀, JJ₁) JJ₀ dans [ D1-40j, D1+30j], JJ₁ dans [D2-20, D2+100] , qui conduit à un minimum de C3. (On en restera au jour entier près).

Vous tracerez, si le temps le permet, dans le plan de coordonnées [ D1-40j, D1+30j] x [D2-20, D2+100], les courbes ISO C3, par pas de 1 km²/s², entre 8 et 16 km²/s². Vous commenterez les expressions utilisées dans la pratique : existence d'un "créneau court" et d'un "créneau long".

Ainsi vous pourrez déterminer une période totale de tir de part et d'autre de cette date (qui devrait contenir la date du tir de type Hohmann).

d ) Vous disposez des programme DEUX_PTS.EXE, TER_MARS.EXE spécial à la mission ou des unités BIPOS.TPU, FCTMARS.TPU, FCTVENUS.TPU, dont vous avez les sources et exécutables, vous y trouverez des fonctions particulièrement adaptées au transfert vers Mars et Vénus, ainsi qu'une variante de BIPOS.TPU plus facile à manipuler.

Avec les dates retenues, vous donnerez la trajectoire précise, reliant les deux planètes et demandant une vitesse à l'infini de la terre, minimale, ou encore C3 minimale. Vous connaîtrez ainsi:

Les paramètres orbitaux de la trajectoire de transfert, la date JJ₀ de départ, JJ₁ d'arrivée, la durée du voyage et la vitesse à l'infini par ses composantes, que vous ramènerez dans le repère géocentrique équatorial.

La période de tir est donc choisie JJ₀ -15 jours < JD < JJ₀ +15 jours. Vous conserverez toujours la date d'arrivée prévue, même en cas de retard au départ.

2°) PARKING EN PARTIE IMPOSE :

On s'impose un parking circulaire, de rayon a et d'inclinaison orbitale i. Voir le cours dédié

Vous essaierez i = 28°.5 et Z=280 km (Tirs US) ou i=7°, Z = 200 km (Tirs Ariane 4), i = 7°, Z=600 km (Ariane 5), i=7° et une orbite elliptique GTO de périgée sur l'équateur.

Vous vérifiez que l'inclinaison i permet éventuellement un départ coplanaire, vous utilisez les résultats du cours dédié. Vous calculez alors W, l'heure Ho précise de l'injection et le DV minimal nécessaire.

Ceci vous permet de définir une fenêtre de tir de 5 mn de part et d'autre de Ho.

Votre tir est donc parfaitement défini. Malheureusement, la réalité physique pose des problèmes techniques. C'est l'objet de 3°)

3°) RETARDS ET REPORTS DE TIR :

 Le jour du tir JJ peut être décalé dans la période de tir. JJ = JJ₀ + DJ. Vous conservez la date JJ₁ d'arrivée.

Vous reprenez donc les calculs du tir coplanaire depuis le début et étudiez notamment l'influence de DJ sur DV, vous tracerez la courbe DV = f(DJ), courbe devant présenter un minimum en JJ₀. De même vous pourrez suivre les changements sur W et l'heure H₀ d'injection optimale.

 Le jour du tir JJ₀ est "bon", mais l'heure H diffère de l'heure optimale de 5 mn maximum H₀, H = H₀ + DH, dans la fenêtre de tir. Vous gardez le même parking et donc constatez qu'avec le décalage de l'injection sur le parking, W n'a plus la bonne valeur pour un tir coplanaire.

Vous ne pouvez plus utiliser les résultats du tir coplanaire. Cependant, il faut effectuer un tir conduisant à la même vitesse à l'infini. Il faut donc déterminer le point du parking optimal, en lequel le DV est minimal pour réussir la mission. C'est l'objet du paragraphe suivant.

OPTIMISATION DU DV :

 1 - Quel point du parking faut-il choisir pour effectuer le changement de trajectoire ? Nous noterons

: Le rayon vecteur

: Le vecteur vitesse

 2 - En ce point, quelle doit être la vitesse V_H sur l'hyperbole, pour que la vitesse à l'infini soit celle imposée, ou encore, comment faut-il choisir V_H pour que la direction de l'asymptote soit la bonne ?

 4 - En balayant ainsi toutes les positions du parking, on déterminera la position qui donnera un minimum absolu de DV.

II RESOLUTION DU PROBLEME :

1°) FORMULATION MATHEMATIQUE :

Vous lirez le cours dédié à ce problème Voir cours

Vous ferez part de trouvailles éventuelles, car la théorie n'a peut-être pas tout calculé, ce qui était calculable!!!

2°) VERIFICATION POSSIBLE DES CALCULS :

Une étude simple montre que si le plan orbital d'un parking circulaire contient la vitesse à l'infini, alors l'injection optimale a lieu au périgée de l'hyperbole, avec une vitesse V_H colinéaire à la vitesse sur le parking.

Vous pourriez donc choisir, indépendamment du problème, une vitesse à l'infini de composantes (0 2 2) en km/s, W = 0°, i = 45° et vérifier que DV minimal correspond au rayon vecteur R normal à V_H et aussi DV, donc que l'injection a lieu au périgée.

III COMPTE RENDU :

C'est l'occasion de présenter succinctement une rétrospective des missions interplanétaires.

1°) PARKING CIRCULAIRE :

Vous travaillerez à partir d'un parking circulaire incliné à 28°.5 ou 7° sur l'équateur, ce qui correspond aux tirs US ou français.

Vous rendrez compte sous forme de courbes du coût en vitesse d'un écart sur l'heure du tir ou d'un écart sur l'heure d'injection à partir du parking.

Les performances des lanceurs en masse utile sont en général publiées et permettent donc de connaître la masse utile sur le parking.

Cette masse utile Mu contient elle-même, un moteur supplémentaire, qui délivre l'incrément de vitesse nécessaire à l'évasion et injecte une sonde de masse M sur l'hyperbole. C'est M optimale, en dernier ressort qu'il faudra calculer, une fois le moteur largué.

Caractéristiques du moteur Isp = 3000 m/s, w = 0.115

Une traduction des résultats en termes de masse utile, ou de perte de masse utile lorsqu'on s'écarte du tir optimal, présenterait un grand intérêt.

Il serait également souhaitable de simuler des tirs avec Ariane 44L, en attendant de connaître les performances de Ariane 5.

Enfin, une réflexion sur les perturbations orbitales est attendue et pourrait faire l'objet d'une simulation.

Mars n'est pas une planète imposée et votre imagination peut aussi vous conduire vers d'autres horizons. Rien ne vous interdit également d'envisager un voyage vers Mars plus court etc...

2°) PARKING ELLIPTIQUE :

Eventuellement, vous pourriez envisager un parking elliptique obtenu par un tir Ariane, et étudier un départ coplanaire. Dans ce cas on peut aussi montrer que si w est correctement choisi, un départ au périgée du parking est optimal.

Pour comprendre le processus d'optimisation de la masse de la sonde, il faut d'abord consulter les graphes de performances d'un lanceur. Fixant un périgée Rp, et faisant varier l'apogée Ra, on note que la masse utile Mu placée sur le parking elliptique est fonction du rapport k = Ra/Rp.

Mu = Mu(k) loi à tabuler grâce aux performances lanceur

Lorsque que k varie, il est clair que l'incrément de vitesse DV varie aussi, puisque la vitesse au périgée dépend de k.

DV = DV(k)

Caractéristiques du moteur Isp = 3000 m/s, w = 0.115

La masse M* de la sonde se calcule avec les relations suivantes :

Donc Mu* = Mu*(k), vous tracerez les graphes d'évolution, pour donner la valeur de k la meilleure.

Ce faisant vous aurez eu un premier contact avec le problème d'optimisation du tir. Il va de soi que nous avons passés sous silence de nombreuses contraintes imposées à la mission, ne serait-ce que des problèmes de visibilité de la sonde au moment de l'injection, la configuration par rapport au soleil etc....

3°) PERTURBATIONS :

Si le temps le permet, et uniquement en tenant compte deJ2 qui affecte W et w notamment, vous réfléchirez à :

- Conséquences sur le tir?

- Comment profiter des perturbations, pour laisser évoluer w jusqu'à la valeur adéquate, sachant que le lanceur Ariane fournit typiquement w = 180°, à la mise sur le parking?..

- Comment choisir l'heure du tir sur le parking, si on tire plusieurs jours à l'avance, ne serait-ce que pour restituer correctement le parking?

Guiziou Robert 20 janvier 2003, sept 2011