SOLUTION SUCCINCTE DU CONTRÔLE FINAL Année 2004/2005

EXERCICE I (9 pts)

1°) ETUDE DE L'ORBITE FINALE C1:

a) Donner sa période T1 : T1=21541 secondes

b) Quelle est son rayon R1 (qui est donc au final l'apogée Rao de Co)? R1=16732.8 km

2°) ETUDE DE L'ORBITE DE TRANSFERT Co:

a) Vérifier sur Co, que le temps de montée à l'apogée est de 12783 s. Déduire la vitesse absolue à l'apogée de Co puis la vitesse absolue Vp au périgée de Co à 522 km du sol. 2ao=23632.8 km, E=-16.8664 km²/s², Vao=3.7296 km/s, Vp=9044.5 m/s

Donner l'excentricité de Co. e=0.416066

b) Faire une figure simple de la composition des vitesses dans le plan Est-Nord.

c) Calculer l'azimut absolu bo du tir sur Co et la vitesse relative VR.

bo =46°.594 a=43°.406 VR=8789.4 m/s

d) Vérifier l'inclinaison orbitale de Co : i = 59°.09.

3°) Points survolés ( peut se traiter suite à 2°) d) :

Avec la position du périgée de Co dans l'hémisphère nord, déduire l'argument nodal w du périgée de Co. w=55°.5

A quelle date (jour & heure) le satellite atteint-il pour la première fois le point de latitude la plus élevée? q= 34°.496, f=22°.55, temps=476 s, date=8/11/2004 à 15 h 7 mn 56 s

4°) CHANGEMENT D'ORBITE Co ---> C1:

a) Calculer l'incrément de vitesse nécessaire pour en une seule opération établir l'inclinaison correcte de 50° et circulariser l'orbite. DV=1335 m/s

b) Le satellite avec son moteur a une masse totale M=4000 kg, le moteur possède les carctéristiques Isp=4300 m/s, w=0.1045. Calculer la masse du satellite privé de son moteur supposé largué après fonctionnement. Quelle est l'accélération en fin de combustion, juste avant extinction du moteur?

Mp=1067.8 kg, Ms= 112.1 kg, masse satellite = 2820 kg, Accélération max=17.6 m/s²

 

EXERCICE II (8 pts)

1°) a) Donner la durée en jours d'un voyage héliocentrique de type Hohmann Terre-Jupiter? Combien de jours la sonde passe-t-elle à traverser la partie principale de la ceinture d'astéroïdes comprise entre 300 et 450 millions de km du Soleil?

2a=900 106 km, E= - 147.44444 km²/s², Durée = T/2= 1905.68/2=952.84 jours, e=0.6666666=2/3

Temps Périgée-Entrée ceinture ===> phi1=60°

Temps Périgée-Sortie ceinture ===> phi2=90°

Temps passé dans la ceinture = T/2pi*(phi2-Phi1-e(sin(phi2)-sin(phi1)))=131.72 jours

b) Donner l'angle Terre - Soleil - Jupiter à respecter, au moment du tir au départ de la Terre, pour que le rendez-vous puisse se réaliser à la première occurrence.

Vitesse angulaire de Jupiter=1.77355 10-8 rd/s, angle Terre-Soleil-Jupiter = 96°.343

2°) Calculer la vitesse VoT du tir, avec une injection à 622 km du sol, profitant au mieux, en sortie de la sphère d'influence terrestre, de la vitesse d'entraînement de la Terre autour du Soleil. Quelle est la constante C3 du tir?

Vos=38.398 km/s, VT=29.743 km/s, Vinfini/Terre=8.655 km/s, C3=74.9 km²/s², VoT = 13.74 km/s

3°) Donner la vitesse de survol de Jupiter, lorsque la sonde passe au périgée hyperbolique à 36000 km du sol théorique de Jupiter.

VJ=13.3 km/s, V1S=7.68 km/s, Vinfini/jupiter= - 5.62 km/s, Vp=48.9 km/s

4°) Calculer la norme de l'incrément DV de vitesse, consécutif au tremplin sur Jupiter, en supposant un survol sans "coup de frein" au périgée.

DV(Tremplin)=10.95 km/s

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EXERCICE III (4 pts)

Sur une orbite de caractéristiques : a = 9000 km, e = 0.2, i = 45°, W = 0°, w = 0°, tp = 8 novembre 2004 à 15 h, une manœuvre impulsionnelle est programmée à l'apogée, réalisée par une impulsion tangentielle DVT = 3 m/s

1°) Quels sont les paramètres orbitaux affectés par la manœuvre DVT? a et e

En utilisant la différentielle de Rp = a(1-e), déduire la variation d'altitude du périgée Rp. On peut tout aussi bien dire que DRp=2Da, ce qui est plus simple et d'ailleurs vérifié par le calcul ci-dessous

NUMERIQUEMENT : n=7.394433 10 -4 rd/s, DRp=13250 m= 13.5 km

2°) Une impulsion normale DVN doit corriger l'inclinaison orbitale de 0.1° sans modifier les autres paramètres. Grâce à l'équation de Gauss concernant i, répondre à:

a) Donner la relation entre Di et DVN, En déduire que l'apogée est préférable au périgée. Calculer alors numériquement DVN

L'équation de Gauss en i montre qu'avec Tp=Rp=0 pour ne pas modifier les autres paramètres, il faut w+q = 0 ou p. Dans ces conditions en valeur absolue :

le minimum de DVN est obtenu pour r maximum, soit à l'apogée. Ce qui est parfait pour notre cas.

b) Calculer alors DVN : DVN = 9.47 m/s

3° Le satellite de masse 5000 kg, au moment de la manœuvre , utilise un moteur d'impulsion spécifique Isp=3000 m/s avec un débit de 2 kg/s, calculer la masse de carburant nécessaire et la durée de la manœuvre délivrant en une seule opération les 2 incréments de vitesse. Quelle est l'accélération subie par le satellite et pendant combien de temps?

DV² = [(9.47)²+3²] ===> DV=9.934 m/s =3000*Lnl ==> l = 1.003317 ===> Mp=16.52 kg d'ergols avec une accélération de 1.2 m/s² durant 8.3 secondes

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IV QUESTIONS DIVERSES INDEPENDANTES (6.5 pts)

( Lecture attentive du texte, tous les termes sont importants)

1°) (0.5 point) Pour une injection relative "plein Est", à quelle latitude obtient-on une inclinaison orbitale de 45°? l=45°

2°) (0.5 point) Quelle est la vitesse d'injection au périgée 200 km sol, d'une orbite d'apogée 35786 km? Commentaires? 2a=48782 km, Vp=10.239 km/s, commentaires : c'est une injection GTO

3°) (0.5 point) Quelle est la vitesse de libération par rapport à Mars à 4000 km du centre? Constante de gravitation 4.305 104 km3s-2? Vl=4.6395 km/s

4°) (2 points) Quelle est l'incrément de vitesse nécessaire pour corriger un défaut d'inclinaison de 1°, sur une orbite elliptique de périgée sol 322 km d'argument nodal du périgée w=180° et d'apogée 20322 km sol? Où doit-on opérer la correction? A l'apogée où la vitesse est la plus faible, car avec w=180° l'apogée est sur l'équateur. 2a=33400 km, E=-11.934, Va=2.447 km/s, Correction de 42.7 m/s pour faire tourner sans changement de norme le vecteur vitesse de 1°.

5°) (0.5 point)Quelle est l'inclinaison orbitale d'une orbite héliosynchrone de période T=6080 s? Commentaire français? I=97°.2, satellite de type Spot.

6°) (2.5 points) Un tir interplanétaire à Z=522 km du sol terrestre de vitesse relative 11.5 km/s, avec injection plein Est à 23°.5 de latitude, profite au mieux de la vitesse d'entraînement de la Terre( à 150 millions de km du soleil), autour du Soleil. Quelle est l'apogée du transfert interplanétaire ainsi obtenu ? Vet=461.4 m/s, VoT=11.96 km/s, Vit infinie/terre=5.25 km/s, VT=29.743 km/s, VoS=35 km/s, E=-272.48 km²/s², 2a=487 106 km, apogée=337 106 km.

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