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PROBLEME DE GIBBS |
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CONTENU : Mis
à jour janvier 2008, revu sept 2011
II Rappels sur les mouvements képlériens
III Résolution du problème de Gibbs
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On
suppose que des observations optiques ou radar, ont permis de préciser trois
positions, naturellement coplanaires, d'un satellite en mouvement dans un champ newtonien. L'orbite est donc une conique, ellipse ou hyperbole
en général. Nous
connaissons donc trois rayons vecteurs:
La
résolution que nous allons donner, fournit alors:
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A
toute orbite képlérienne on associe des invariants scalaires ou vectoriels, qui
constituent des intégrales premières du mouvement, donnons les trois utiles à
cette étude:
Le
vecteur moment cinétique réduit, normal au plan orbital et orientant le sens du
mouvement orbital.
Le
vecteur excentricité qui pointe le périgée, donne donc le grand axe et
l'excentricité par sa norme
Le
paramètre p ( visible sur la figure), longueur constante caractéristique de
l'orbite. On rappelle que dans le repère périfocal galiléen PQW, l'équation de
la conique s'écrit:
Un
calcul géométriquement évident donne :
Cette
dernière relation sera utilisée plus loin.
On
définit trois nouveaux vecteurs associés à l'orbite:
Dans
les axes du repère périfocal, on a de toute évidence:
Utilisant
le développement du double produit vectoriel et la relation donnant p-r on a:
De
toute évidence le calcul s'achève par :
Enfin
un calcul plus complexe, que nous ne faisons pas, fournit la vitesse en un
point:
Le
calcul se termine classiquement par celui des paramètres
orbitaux connaissant
le vecteur
position et le vecteur vitesse.
Voici
les calculs pour la formule ci-dessus :
Reste
à évaluer la constante devant le crochet :
Ce
qui achève le calcul.
NB : Le
signe + ou - provient simplement du fait que le mouvement peut s'effectuer dans
deux directions, propriété que la donnée des 3 rayons vecteurs ne précise pas.
REMARQUE CAPITALE :
Le
problème que nous avons résolu est purement géométrique, puisqu'il consiste à
déterminer l'ellipse qui passe par les trois points donnés que sont les
extrémités des trois rayons vecteurs. Dans cette affaire, il n'est pas question
de temps, ni de sens de parcours sur l'ellipse.
On
ne s'étonnera donc pas de trouver deux solutions à ce problème, ayant en commun
: la même ellipse, le même périgée, le même apogée et le même grand axe. Les
deux solutions ne diffèrent que par le sens de parcours. Il faudra donc, dans
les applications pratiques donner un critère de séparation des cas.
QUEL CRITERE ?
1
- Pour une même orbite le sens de parcours est intimement lié à l'inclinaison
orbitale, avec i<=90° pour un déplacement "vers l'Est" et i>90°
pour des orbites spéciales comme celles des satellites d'observation civils ou
militaires ( SPOT, HELIOS) donc l'information sur i, si elle est connue suffit
à séparer les cas.
2
- Si les rayons vecteurs ont été obtenus par écho radar ou écho laser, il est
alors possible de récupérer, notamment avec l'écoute des transmissions, le
décalage Doppler qui suivant son signe va dire si la vitesse radiale est
positive ou négative.
Il
suffit alors de calculer le produit scalaire du rayon vecteur et de la vitesse
pour choisir s'il faut prendre la vitesse ou son opposé.
OUTILS DE CALCUL :
L'auteur
fournit des routines écrites en Pascal, avec les sources et
les exécutables sur site ert téléchargeables.
En
particulier :
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Logiciel de localisation
en képlérien: A partir de 3 visées ( Distance, Elévation, Azimut ) donne les paramètres orbitaux de la trajectoire satellite. |
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Plus général et
théorique, application stricte de ce cours. A partir de 3 rayons
vecteurs absolus, dans IJK donne le vecteur vitesse pour le premier rayon
vecteur. Le calmcul des paramètres orbitaux devant s'achever par RV_PARAM.EXE |
Il
est classique dans les opérations de Ranging Tracking, durant une période de visibilité
d'un satellite circumterrestre, de déterminer 3 rayons vecteurs de la position
d'un satellite à trois instants différents.
Il
en est de même de sondes interplanétaires munies de réflecteurs laser.
Examinons quelques technologies.
NB
: Il n'est pas de la compétence de ce site d'expliquer en détail, le
fonctionnement des systèmes de positionnement. Quelques mots clés, vous
permettront de rapidement récupérer une information qui sera nettement plus
complète que ce que l'auteur pourrait recopier. On ne donnera donc que le nom
et le principe.
DORIS = ( Détermination d'Orbite
et Radio positionnement Intégrés
par Satellite )
Développé
par le CRGS&CNES&CNRS. C'est un système radioélectrique Doppler qui
réalise des mesures de vitesse relative entre la cible et les stations d'un
réseau mondial de stations émettrices dites d'orbitographies.
La
localisation de stations sol atteint une précision de l'ordre du cm. Excellent
pour les applications de géodésie.
Pour
la mesure de la vitesse radiale, une précision de 0.3 mm/s est atteinte.
A
bord d'un satellite ou d'un véhicule le système DORIS est complété par le
dispositif DIODE = ( Détermination
Immédiate d'Orbite
par Doris Embarqué
)
Basée
sur la mesure ultra précise du trajet aller retour d'une impulsion laser
réfléchie, par le réflecteur laser du satellite, qui renvoie l'onde dans la
direction incidente.
Précision
de l'ordre du cm, qui en fait une technologie idéale en géodésie ou en
océanographie.
3°) Localisation
GPS :
Inutile
de développer ce concept dont la vulgarisation est connue de tout le monde.
C'est
un réseau développé par la NASA, DSN = ( Deep Space Network ) de stations de poursuite DSS = ( Deep Space Station ).
La
précision atteint 10 m pour des distances de 200 millions de km et 30 km pour
Voyager 2 au niveau de Pluton.
V CALCULS
:
Il
est clair qu'une station récupère 3 positions en axes locaux ( D = distance, El
= Elévation , Az = Azimut ) , à partir desquelles on reconstitue les 3 rayons
vecteurs centraux absolus. La théorie de Gibbs achevant le calcul.
Guiziou Robert janvier 2008, sept 2011